Tänk dig att man samlar en grupp människor och frågar var och en när de har födelsedag för att se om några har födelsedag på samma dag.
Om det bara är två personer är det en chans på 365 att de har samma födelsedag, det vill säga nästan 0.3% (om vi för enkelhetens skull bortser från skottår, tvillingar, etc. och antar att alla årets dagar är lika sannolika som födelsedagar (vilket inte stämmer, till exempel har 9.3% av Sveriges befolkning födelsedag i Mars och bara 7.3% i November)).
Hur stor behöver gruppen vara för att sannolikheten ska vara över 50%? Fundera på det medan du tittar på den här rödhaken, innan du bläddrar ner till det rätta svaret.
Robin Erithacus rubecula av Peregrine's Bird Photography, från Flickr (CC BY 2.0)
Vad gissade du? 150? 100? 50? Rätt svar är 23, vilket verkar så lågt att problemet kallas för födelsedagsparadoxen, trots att där inte finns något paradoxalt alls. Bara sannolikhet.
Om vi istället räknar ut sannolikheten att inga personer har samma födelsedag.
Den första personen kan ha födelsedag på vilken dag som helst. 365 av 365 = 100% födelsedagskrockfritt.
Den andra personen kan ha födelsedag på vilken dag som helst förutom den första personens födelsedag. 364 av 365 ≈ 99.7% födelsedagskrockfritt.
För person nummer tre är två dagar upptagna. 363 av 365 multiplicerat med sannolikheten för två personer (för att tre personer inte ska ha födelsedag samtidigt måste man först ha två personer som inte har det) ≈ 99.2% födelsedagskrockfritt.
Och så vidare. Härifrån sjunker det allt snabbare, eftersom varje person vi lägger till har ett färre antal lediga dagar att ha födelsedag på.
# % # % # %
1 100.0 11 85.9 21 55.6
2 99.7 12 83.3 22 52.4
3 99.2 13 80.6 23 49.3
4 98.4 14 77.7 24 46.2
5 97.3 15 74.7 25 43.1
6 96.0 16 71.6 26 40.2
7 94.4 17 68.5 27 37.3
8 92.6 18 65.3 28 34.6
9 90.5 19 62.1 29 31.9
10 88.3 20 58.9 30 29.4
Så vid 23 personer är det bara 49.3% sannolikhet att de inte har någon födelsedagskrock (och därmed 50.7% sannolikhet att de har det).
Hur många personer krävs det då för att det 100% garanterat ska finnas två personer som har samma födelsedag? Det är inte 46 (94.8%). Det räcker inte med 100 (99.99997%) eller ens 200 (99.9999999999999999999999999998%).
För att det ska vara 100% garanterad födelsedagskrock måste det vara minst 366 personer. Det skulle ju faktiskt kunna bli så att alla de 365 första personerna man frågar har olika födelsedagar, även om det är väldigt osannolikt, men när man då frågar nummer 366 finns det ingen dag (återigen, bortsett skottår) som inte redan är tagen, enligt vad som brukar kallas postfacksprincipen:
Om man har fler brev än postfack, så kommer något postfack att innehålla minst två brev.
